Q10
累积频率分布
已知频率分布表（区间10–19到50–59），请构建累积频率分布。
1
理解概念
累积频率（Cumulative Frequency）= 将每个区间的频率逐行相加。第一行等于自身，第二行等于第一行+自身，以此类推。
2
验证方法
最后一行的累积频率必须等于所有频率之和（即总样本量 n）。可以用这个来检验自己有没有算错。
✏️ 试试看
频率为 10, 14, 17, 7, 2，前两行相加后第三行的累积频率是多少？
✅ 完整答案
| 区间 | 频率 | 累积频率 |
|---|---|---|
| 10–19 | 10 | 10 |
| 20–29 | 14 | 24 |
| 30–39 | 17 | 41 |
| 40–49 | 7 | 48 |
| 50–59 | 2 | 50 |
| 合计 | 50 | 50 ✓ |
Q13
均值与中位数
a) 数据：
10, 20, 12, 17, 16，求均值和中位数。b) 加入12后，新数据如何变化？
1
计算均值
均值公式：x̄ = Σxᵢ / n，即所有数相加除以个数。
2
计算中位数
中位数必须先排序！奇数个数据取中间值；偶数个数据取中间两个的平均。
3
加入新数据后的判断
加入的12比均值15小，所以均值会被拉低。这是判断方向的关键技巧。
✏️ 试试看
数据 10, 12, 16, 17, 20 排好序后，中位数是第几个？
✅ 完整答案
Part a：
Part b：
x̄ = (10+20+12+17+16) / 5 = 75 / 5 = 15
排序：10, 12, [16], 17, 20 → 中位数 = 16
均值
15
中位数
16
x̄ = (10+20+12+17+16+12) / 6 = 87 / 6 = 14.5
排序：10, 12, [12, 16], 17, 20 → 中位数 = (12+16)/2 = 14
均值
14.5
中位数
14
💡 关键认知：加入一个低于均值的数，会让均值和中位数都下降。加入高于均值的数则反之。
Q14
百分位数
数据：
27, 25, 20, 15, 30, 34, 28, 25，求第20、25、65、75百分位数。
1
先排序
排序结果：15, 20, 25, 25, 27, 28, 30, 34（n = 8）
2
计算位置 L
公式：L = (P / 100) × n，P是百分位，n是数据个数。
3
判断整数还是非整数
L 不是整数 → 向上取整，取那个位置的值。
L 是整数 → 取第L和第L+1位的平均值。
L 是整数 → 取第L和第L+1位的平均值。
✏️ 试试看
第25百分位：L = 2（整数），取排序后第2和第3位平均，即 (20+25)/2 = ？
✅ 完整答案
| 百分位 | L | 规则 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 20th | 1.6 | 非整数→第2位 | 20 |
| 25th (Q1) | 2.0 | 整数→均(2,3) | 22.5 |
| 65th | 5.2 | 非整数→第6位 | 28 |
| 75th (Q3) | 6.0 | 整数→均(6,7) | 29 |
Q15
均值、中位数与众数
数据：
53, 55, 70, 58, 64, 57, 53, 69, 57, 68, 53，求均值、中位数、众数。
1
众数
众数 = 出现次数最多的数。53出现3次，57出现2次，其余1次。众数 = 53。
2
中位数（先排序）
n=11（奇数），中间是第6个数。排序后找第6位。
✏️ 试试看
排序后：53,53,53,55,57,?,58,64,68,69,70，n=11，中位数是第几位？
✅ 完整答案
x̄ = 657 / 11 = 59.73
排序：53,53,53,55,57,[57],58,64,68,69,70 → 中位数 = 57
众数 = 53（出现3次，最多）
均值
59.73
中位数
57
众数
53
Q16
几何平均数 — 年均增长率
资产从
$5,000 降至 $3,500，历时9年，求年均增长率。
1
为什么不用普通均值？
普通均值对百分比变化会产生误导。几何平均数才能正确反映复利增长率。
2
公式
x̄g = (终值 / 初值)^(1/n) − 1
3
计算器操作
计算器输入：
0.7 ^ 0.1111（即 0.7 的 1/9 次方）
✏️ 试试看
资产从5000跌到3500，年均增长率应该是正数还是负数？
✅ 完整答案
x̄g = (3500/5000)^(1/9) − 1 = (0.7)^0.1111 − 1 = −0.0374
年均增长率
−3.74%
Q17
基金业绩比较
Stivers基金：
$10,000 → $18,000（8年）；Trippi基金：$5,000 → $10,600（8年）。哪个更好？
1
关键理解
不能直接比较总回报，初始本金不同。要用几何平均年化增长率来公平比较。
2
分别套公式
两个基金都用：
(终值/初值)^(1/8) − 1，n = 8年
✏️ 试试看
Trippi：(10600/5000)^(1/8) − 1 = (2.12)^0.125 − 1 ≈ ？
✅ 完整答案
Stivers: (18000/10000)^(1/8) − 1 = (1.8)^0.125 − 1 = 7.63%
Trippi: (10600/5000)^(1/8) − 1 = (2.12)^0.125 − 1 = 9.85%
Stivers
7.63%
Trippi
9.85%
Q19
候诊时间分析（方差、标准差、箱线图）
比较有/无等待追踪系统诊所的候诊时间。求均值、中位数、方差、标准差，并绘制箱线图。
1
方差的含义
方差衡量数据的分散程度。方差越大，数据越不稳定。
2
方差计算步骤
① 算均值 x̄ ② 每个数减均值 ③ 平方 ④ 全部相加 ⑤ 除以 (n−1)
3
箱线图的5个数
Min · Q1 · Median · Q3 · Max
离群值判断：小于
离群值判断：小于
Q1 − 1.5×IQR 或大于 Q3 + 1.5×IQR
✏️ 试试看
With系统：Q1=12，Q3=18，IQR=6，上界 = 18 + 1.5×6 = ？
✅ 完整答案
| 统计量 | 有系统 | 无系统 |
|---|---|---|
| 均值 | 17.2 | 29.1 |
| 中位数 | 13.5 | 23.5 |
| 方差 s² | 86.18 | 275.66 |
| 标准差 s | 9.28 | 16.60 |
| Q1 / Q3 | 12 / 18 | 17 / 37 |
| IQR | 6 | 20 |
| 离群值 | 3137 | 无 |
💡 有等待追踪系统的诊所候诊时间更短且更稳定，系统显著改善了候诊体验。
Q24
协方差与相关系数
x =
{4, 6, 11, 3, 16}，y = {50, 50, 40, 60, 30}。散点图 · 协方差 · 相关系数。
1
协方差的意义
协方差 > 0：正相关；< 0：负相关；≈ 0：无关。
2
协方差公式
s_xy = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / (n−1)
3
相关系数
r = s_xy / (sₓ × s_y)，范围在 −1 到 +1 之间。越接近±1线性关系越强。
✏️ 试试看
x越大y越小，协方差应该是正数还是负数？
✅ 完整答案
x̄ = 8 | ȳ = 46
| xᵢ | yᵢ | xᵢ−x̄ | yᵢ−ȳ | (xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 50 | −4 | 4 | −16 |
| 6 | 50 | −2 | 4 | −8 |
| 11 | 40 | 3 | −6 | −18 |
| 3 | 60 | −5 | 14 | −70 |
| 16 | 30 | 8 | −16 | −128 |
| Σ | −240 | |||
s_xy = −240 / 4 = −60
sₓ = 5.43 | s_y = 11.40
r = −60 / (5.43 × 11.40) ≈ −0.97
协方差
−60
相关系数 r
−0.97
💡 r = −0.97 说明 x 和 y 之间存在极强的负线性关系，几乎完全反向变动。
Q11
汽车产量 — 折线图与簇状条形图
丰田、通用、大众、现代5年产量（百万辆）。a) 折线图 b) 讨论趋势 c) 簇状条形图
1
折线图适合什么数据？
折线图最适合展示时间序列趋势。X轴放年份，Y轴放产量，每个品牌一条线。
2
簇状条形图的作用
簇状条形图让同一年内各品牌并排对比，方便看出哪个品牌在某年领先。
✅ 图表答案
各年领先：Y1、Y2 — 通用GM | Y3、Y4、Y5 — 丰田Toyota
💡 通用第4年大幅下滑；现代增速最快，几乎翻倍；丰田从第3年起持续领先。
📊 Excel操作步骤
① 数据输入Excel（行=品牌，列=年份）② 选中全部数据 → 插入 → 图表 → 折线图 → 带标记的折线图
③ 添加图表标题 "Vehicle Production by Manufacturer"
④ 簇状图：同样数据 → 插入 → 柱形图 → 簇状柱形图
Q13
保险销售 — 柱状图
6名销售员：Harish(24), David(41), Kristina(19), Steven(23), Tim(53), Mona(39)。创建柱状图 · 排序 · 添加数据标签。
1
排序数据
排序：Tim(53) → David(41) → Mona(39) → Harish(24) → Steven(23) → Kristina(19)
2
数据标签
数据标签 = 每个柱子上方显示数值。Excel：右键柱子 → 添加数据标签。
✅ 图表答案
📊 Excel操作步骤
① 输入姓名和合同数 → ② 数据 → 排序 → 按合同数从大到小③ 插入 → 柱形图 → 簇状柱形图
④ 右键点击柱子 → 添加数据标签
⑤ 添加图表标题：Top Salespeople by Contracts Sold
Q16
智能手机持有率 — 堆叠与簇状图
按年龄段统计手机持有类型。a) 堆叠图 b) 簇状图 c) 哪种更适合？
1
堆叠图 vs 简状图
堆叠图：看整体构成比例。簇状图：各类别并排，更容易比较个别差异。
✏️ 试试看
想清楚对比不同年龄段的智能手机持有率变化，用哪种图更好？
✅ 图表答案
c) 簇状图更好——能清楚看出随年龄增长智能手机持有率持续下降。
📊 Excel操作步骤
堆叠图：选中数据 → 插入 → 柱形图 → 堆叠柱形图 → 添加标题和轴标签簇状图：同样数据 → 插入 → 柱形图 → 簇状柱形图
Q17
门店经理时间分配
6个门店，4类任务时间占比。a)堆叠图 b)簇状图 c)多重图 d)哪种最好 e)推断
1
三种图的区别
堆叠图：整体构成；簇状图：各任务并排对比；多重图：每个门店单独一张。
2
哪种最好？
簇状图最好：可以跨门店比较同一任务，也可以在同一门店内比较不同任务。
✅ 图表答案
d) 簇状图最佳 | e) Boise/Olympia客户互动最多；Portland开会最多(52%)；Missoula空闲最高(30%)
📊 Excel操作步骤
① 数据：行=门店，列=任务类别② 堆叠：插入 → 条形图(Bar) → 堆叠条形图
③ 簇状：插入 → 条形图(Bar) → 簇状条形图
⚠️ 注意：Bar = 横向；Column = 纵向。此题要横向条形图。